第 3 章 Descriptive Statistics
本篇是第三章，内容是描述性统计。同时在这一章会开始渗透R语言的相关内容。但整体还是以理论为主。
3.1 数据的预处理
本章正式进入统计学的一大分支——描述统计。很多人会疑惑做一个Project或者写一篇Paper，最难的是什么？我曾经不止一次说过，最难的是数据。数据收集完成，项目完成了50%。而数据收集完成之后，很多人就会马上开始进行数据处理和分析，事实上这是不对的。因为你不清楚你的数据是否有问题（什么问题都有可能，会导致你的分析出现各种问题）。所以你拿到数据后的第一步，应该是对数据做预处理，或者用大数据时代的话——叫数据清洗或者ETL（Extract-Transform-Load），我想预处理还会占掉Project花费时间的20%吧。
那么接下来先介绍下预处理的内容。
数据预处理：
- 数据审核
- 数据筛选
- 数据排序
- 数据透视
数据审核，包括直接数据的完整性审核以及准确性审核（是否客观），间接数据的适用性审核以及时效性审核；数据筛选，就是对于数据里面的异常值（存在错误，不符合调查要求等），在现在来说就是dirty data（脏数据），将这些数据剔除；数据排序，事实上数据排序更多的目的还是为了更方便地发现异常值，是做数据清洗的手段；数据透视，借鉴于Excel里的数据透视表，事实上就是数据的重铸，融合和汇总，从而得到我们需要的数据。
总的来说，前期预处理需要对数据进行排序、汇总和观察发现相关的数据异常值等。在这个阶段，不喜编程的同学推荐用Excel来做数据预处理（通过数据透视图、替换数据、排序、Countif等工具和Excel函数高效完成预处理），更高级的一般可以考虑用R、Python等编程语言进行清洗预处理，或者像在数据库里用SQL语句也是可以的。
响应一下本部分的标题，R语言实现，交代几个简单的语句进行数据清洗。
3.2 数据的整理与展示
这部分的数据整理是在预处理完毕后，根据我们需要对数据进行整理和简单可视化（多画图，多可视化，你能发现很多事情）。那么第一步就是先把我们的数据类型搞清楚。因为不同类型数据，整理方式不同。对于分类数据和顺序数据主要是分类整理。对于数值数据主要是做分组整理。
- 分类数据的整理核心就是计算频数、比例、百分比、比率，一般可视化用条形图（柱状图）。此外还可以考虑使用帕累托图。帕累托图（Pareto chart）是以意大利经济学家V.Pareto的名字而命名的。这是一个双坐标轴图，一侧纵坐标是频率，另一侧纵坐标是累计频率。是在条形图基础上加上一条折线图（累计频率曲线）。通常用帕累托图来表示，就是研究事物特征是否存在二八定律（20/80规律，典型案例：20%的人拥有80%的财富）。除此之外，分类型数据还可以用饼图来进行可视化。
- 顺序数据则一般选用累计频率曲线和环状图进行可视化。
- 数值型数据的可视化方式是最多的。主要包括了直方图、折线图（频数多边形图）、打点图、茎叶图、箱线图、线图（时间序列数据）、双变量问题（二维散点图与散点图矩阵）、三变量问题（三维散点图或气泡图）、多变量问题（雷达图）。
其中这里面有一个直方图分组使用的经验公式。
\[K=1+\frac{\lg {n}}{\lg {2}}\],
K为组数，n为样本数。确定组数，通过极差和组数求组距即可分组。
这部分有很多可视化内容，暂时就不在这部分讲述了（第14章会重点讲解几个典型的可视化方式的R语言绘制)。最后小结下数据可视化的内容。
- 品质数据——先制作汇总表，然后可以采用条形图、饼图、环状图可视化；
- 数值数据中的原始数据——茎叶图、箱线图可视化；
- 数值数据中的分组数据——直方图、折线图；
- 数值数据中的时间序列数据——线图；
- 数值数据中的多元数据——散点图、气泡图、雷达图。
此外对于图表可视化来说，好的图表可视化应当具有如下特征：
- 显示数据；
- 让读者把注意力集中在图表的内容上，而不是制作图表的程序上；
- 强调数据之间的比较；
- 服务于一个明确的目的；
- 有对图表的统计描述和文字说明。
鉴别图表优劣的准则：
- 精心设计、 有助于洞察问题的实质；
- 使复杂的观点得到简明、 确切、 高效的阐述；
- 能在最短的时间内以最少的笔墨给读者提供最大量的信息；
- 表述数据的真实情况， 避免歪曲。
当然图表可视化不仅仅只有R，Excel、SPSS、Tableau都可以使用。
3.3 数据的概括性度量
当你面对一堆数据时，你还是不知道从何下手，因为我们不可能强行记住每个数据，然后在脑海里对各个数据的分布进行比较，所以科学家们在处理数据的时候，都希望用数据规模尽可能小的一个指标去描述数据尽可能多的信息。那么从数据的角度出发，针对数据分布的不同方面，科学家们也都找出了不相同的指标来进行描述。
简单来说，数据分布包括了集中趋势、离散程度、分布形状三个方面的内容。
- 集中趋势：众数、中位数、平均数；
- 离散程度：异众比率、四分位差、极差、方差或标准差、离散系数；
- 分布形状：偏态系数、峰态系数。
集中趋势的几个指标想必大家较为清楚，就不展开详述了。而离散程度中极差、方差和标准差也是如此，同上，不过单独解释下自由度的概念（一组数据中可以自由取值的数据的个数，与附加给独立观测值的约束或限制的个数有关，比如三个数据的均值已经知道，知道其中两个数据，第三个数据是固定的，也就是说在添加了均值这个约束之后，观测数据自由取值的个数是n-1=2个）。这里重点解释异众比率，四分位差、离散系数、偏态系数和峰态系数。
- 异众比率——从字面理解即可，非众数的比率。也就是——不是众数的组的频数占总频数的比率。
- 四分位差——上四分位数减去下四分位数。
- 离散系数——也就是标准差系数，即用标准差除以平均值。
- 偏态系数——用来描述数据分布特征（分布偏斜程度）的系数，该系数>0为右偏分布，<0为左偏分布，=0为对称分布。
- 峰态系数——用来描述数据分布特征（分布扁平程度）的系数，该系数>0为尖峰分布，<0为扁平分布，=0为扁平峰度适中。
最后单列出以上部分指标的公式（有数学恐惧症的同学请跳过）。
中位数：
\[x_{((n+1)/2)}\]（n为奇数）
\[(x_{(n/2)}+x_{(n/2)+1})/2\]（n为偶数）
四分位数：
\[Q_{L}=\frac{n}{4},Q_{U}=\frac{3n}{4}\]
\[Q_{L}=\frac{n+1}{4},Q_{U}=\frac{3(n+1)}{4}\]
\[Q=\frac{[\frac{n+1}{2}]+1}{2}\]
\[Q_{L}=\frac{n+3}{4},Q_{U}=\frac{3n+1}{4}\]
平均数：
\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_{i}}{n}\](简单平均数)
\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^k M_{i}f_{i}}{n}\](加权平均数)
\[G_{m}=\sqrt[n] {\prod_{i=1}^n {(1+x_{i})}}-1\](几何平均数)
异众比率：
\[v_r=1-\frac{f_m}{\sum f_i}\]
极差：
\[R=max(x_i)-min(x_i)\]
四分位差：
\[Q_d=Q_U-Q_L\]
平均差：
\[M_d=\frac{\sum_{i=1}^n \left|{x_i-\bar {x}}\right|}{n} \] 或 \[ M_d=\frac{\sum_{i=1}^k \left|{M_i-\bar {x}}\right|f_i}{n}\]
总体方差：
\[\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2}{n} \] 或 \[ \sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^k (M_i-\mu)^2f_i}{n}\]
总体标准差：
\[\sigma=\sqrt {\frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\mu)^2}{n}} \] 或 \[ \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k (M_i-\mu)^2f_i}{n}}\]
样本方差：
\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2}{n-1}\] 或 \[s^2=\frac{\sum_{i=1}^k (M_i-\bar x)^2f_i}{n-1}\]
样本标准差：
\[s=\sqrt {\frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2}{n-1}}\] 或 \[s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k (M_i-\bar x)^2f_i}{n-1}}\]
标准分数：
\[z_i=\frac{x_i-\bar{x}}{s}\]
标准差系数：
\[v_s=\frac{s}{\bar{x}}\]
偏态系数：
\[SK=\frac{n\sum(x_i-\bar{x})^3}{(n-1)(n-2)s^3}\]
\[SK=\frac{\sum_{i=1}^k(M_i-\bar{x})^3f_i}{ns^3}\]
峰态系数：
\[K=\frac{n(n+1)\sum{(x_i-\bar{x})^4}-3[\sum{(x_i-\bar{x})^2}]^2(n-1)}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4}\]
\[K=\frac{\sum_{i=1}^k{(M_i-\bar{x})^4f_i}}{ns^4}-3\]